`f(x)={:{(|x|+3",",xle-3),(-2x",",-3 lt x lt 3),(6x+2",",x ge 3):}` के सन्दर्भ में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I`. फलन `f(x), x=3` पर सतत है ।
`II`. फलन `f(x)=-3` पर सतत है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सत्य है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

B

Explanation

x = - 3 पर फलन की सततता
`f(-3)=|-3|+3=6`
बाईं पक्ष सीमा
`=underset(x rarr (-3)^(-))f(x)=underset(x rarr (-3)^(-))lim [(-x)+3]`
`=underset(h rarr 0)lim [-(-3-h)+3]=6`
दाईं पक्ष सीमा
`=underset( x rarr (-3)^(+))lim f(x)=underset(x rarr (-3)^(+))lim (-2x)`
`=underset(h rarr 0)lim [-2(-3+h)]=6`
`:.f(-3)=underset(x rarr (-3)^(-))lim f(x)=underset(x rarr (-3)^(+))lim f(x)`
अतः `x=-3` पर फलन सतत है
`:.x=3` पर फलन की सततता ,
`f(3)=6(3)+2=20`
बाईं पक्ष सीमा `=underset(x rarr x^(-))limf(x)=underset(hrarr0)limf(3-h)`
`=underset(h rarr 0)lim -2(3-h)=-6`
दाईं पक्ष सीमा `=underset(xrarr3^(+))limf(x)=underset(hrarr0)limf(3+h)`
`=underset( h rarr0)lim 6(3+h)+2=20`
`:. underset(x rarr x^(-))lim f(x)!= underset(x rarr3^(+)) lim f(x)`
`:'x=3` पर फलन f(x) सतत नहीं है
अतः कथन `II` सत्य है ।