निम्न में से सत्य कथन है -
`I`. फलन `f(x)=(sin pi x)(x-1)^(1//5),x=1` पर अवकलनीय है ।
`II`. दो अवकलनीय फलनों का गुणनफल भी अवकलनीय होता है ।

Options

A. केवल `I`
B. केवल `II`
C. `I` और `II` दोनों
D. न तो `I` और न ही `II`

Answer

C

Explanation

`:'sin pi x` तथा `(x-1)^(1//5)` सतत फलन है ।
अतः `f(x)=(sin pi x)(x-1)^(1//5)` सतत फलन होगा ।
लेकिन `x=1` पर `(x-1)^(1//5)` अवकलनीय फलन नहीं है ।
जबकि `f'(1^(-))=underset(hrarr0)lim (f(1-h)-f(1))/(-h)`
`=underset(h rarr 0)lim(sin[pi(1- h)](-h)^(1//5))/(h)=0`
तथा `f'(1^(+))=underset(h rarr0)lim (f(1+h)-f(1))/(h)`
`=underset(h rarr 0)lim (sin [pi(1+h)](1+h-1)^(1//5)-0)/(h)`
`=underset(h rarr 0)lim (-sin(pi h)(h)^(1//5))/(h)=0`
अतः `f(x), x=1` पर अवकलनीय फलन है ।