यदि `lim_(x rarr0) (ae^(x)-b cosx+ce^(-x))/(x sin x)=2` है ।
`c` का मान है

Options

A. 0
B. 1
C. -1
D. 2

Answer

B

Explanation

दिया है, `underset(xrarr0)lim(ae^(x)-b cos x+ ce^(-x))/(x sin x)=2`
`x=0` यहाँ के लिए, अंश भाग `ae^(x)-b cos x + ce^(-x)` को शून्य रखना होगा ।
जैसे कि हर भाग x=0 पर शून्य है,
`:.ae^(0)-b cos 0 +ce^(-0)=a-b+c=0`...(i)
अब, `2=underset(xrarr0)lim(ae^(x)-b cos x +ce^(-x))/(x sin x)` [`0/0` रूप]
L' हॉस्पिटल नियम से, `2=underset(xrarr0)lim(ae^(x)+bsinx-ce^(-x))/(x cos x + sin x)`
यहाँ पर भी `x=0` के लिए, `ae^(x)+bsinx-ce^(-x)` को शून्य रखना होगा । जैसे कि x=0 पर `x cos x + sin x` शून्य है ।
`:.ae^(0)+b sin 0-ce^(-0)=a-c=0` ... (ii)
अब, `2=underset(x rarr0)lim(ae^(x)+bsin x-ce^(-x))/(x cos x+ sin x )` [`0/0`रूप ]
L' हॉस्पिटल नियम से, `2=underset(xrarr0)lim=(ae^(x)+bcosx+ce^(-x))/(-xsinx+cosx+cosx)`
`rArr2=underset(xrarr0)lim(ae^(x)+b cos x+ce^(-x))/(2 cos x-xsin x)`
`rArr2=(ae^(0)+b cos 0 + ce^(-0))/(2cos 0-0)=(a+b+c)/(2)`
`rArra+b+c=4` ...(iii)
समी (i) , (ii) व (iii) को हल करने पर,
`c=1`