एक अवकलनीय फलन `f(x)` प्रतिबन्धों `f(x+y)=f(x)+f(y)+xy` और `lim_(h rarr 0) 1/h f(h)=3` को सन्तुष्ट करता है ।
`f` है

Options

A. रैखिक
B. `f(x)=3x+(x^(2))/(2)`
C. `f(x)=3x+x^(2)`
D. `f(x)=3x+3x^(2)`

Answer

B

Explanation

`:' f` अवकलनीय है ।
`:.f'(x)=underset(hrarr0)lim(f(x+h)-f(x))/(h)`
`underset(hrarr0)lim(f(x)+f(h)+hx-f(x))/(h)`[ दिए हुए सम्बन्ध से]
`=underset(hrarr0)lim(f(h))/(h)+x=3+x[:'underset(hrarr0)lim(f(h))/(h)=3]`
`rArrf'(x)=3+x`
समाकलन करने पर,
`f(x)=3x(x^(2))/(2)+k` ...(i)
दिए हुए सम्बन्ध में `x=0, y=0 ` रखने पर,
`f(0)=f(0)+f(0)+0`
`:.f(0)=0`
समी (i) से, `f(0)=0+krArrk=0`
`:.f(x)=3x+(x^(2))/(2)`