यदि `lim_(x rarr 0^(+)) f(x)` परिमित है, जहाँ `f(x)=(sin x +ae^(x)+be^(-x)+cln(1+x))/(x^(3))` तथा `a,b,c` वास्तविक संख्याएँ हैं ।
c का मान होगा

Options

A. `-(1)/(2)`
B. `1/2`
C. 0
D. 2

Answer

C

Explanation

`:'underset(x rarr 0^(+))lim f(x)=` परिमित
`rArr=underset(hrarr0^(+))limf(0+h)=` परिमित
`rArr underset(h rarr 0)lim (sin h + ae^(h)+be^(-h)+cln(1+h))/(h^(3))=` परिमित
जब `h rarr 0`, अंश `rarr a+b` तथा हर `rarr = 0 `
`:'` दायाँ पक्ष परिमित है
`:.a+b=0rArrb=-a` ...(i)
अब, ` underset(hrarr0)lim(sinh+ae^(h)-ae^(-h)+cln(1+h))/(h^(3))=` परिमित
`rArrunderset(hrarr0)lim((sin h)/(h)+(a(e^(h)-1))/(h)-a((e^(-h)-1))/(h)+(cln(1+h))/(h))/(h^(2))=` परिमित `rArrhrarr0` पर अंश `rarr1+a+a+c`
तथा हर `rarr 0 ` [`:'` दायाँ पक्ष परिमित है ]
`:. 1+2a+c=0`
`rArr c=-1-2a` ...(ii) `:.underset(hrarr0)lim(sin h+ae^(h)-ae^(-h)-(1+2a)ln(1+h))/(h^(3))=` परिमित
`=underset(hrarr0)lim(cosh+ae^(h)-ae^(-h)+((1+2a))/((1+h)))/(3h^(2))` [L' हॉस्पिटल नियम से]
`=underset(hrarr0)lim(-sin h+ ae^(h)-ae^(-h)+((1+2a))/((1+h)^(2)))/(6h)` [L' हॉस्पिटल नियम से]
अंश आवश्यक रूप से शून्य होना चाहिए ।
`0+a-a+(1+2a)/(1^(2))=0`
समी (ii) से, `c=-1+1=0`