मान लीजिये `f: R rarr R` में एक अवकलनीय फलन है जो प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करता है
`f.((x+y)/(3))=(2+f(x)+f(y))/(3), AAx,yinR`तथा `f'(2)=2`
यदि `g(x)=|f(|x|)-3|,A x in R` हो, तो `g(x)` के लिए

Options

A. केवल एक अवकलनीय बिन्दु है
B. दी अवकलनीय बिन्दु हैं
C. तीन अवकलनीय हैं
D. चार अवकलनीय बिन्दु हैं

Answer

C

Explanation

चूँकि `f'(x)=underset(hrarr0)lim(f(x+h)-f(x))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(f((3x+3h)/(3))-f((3x+0)/(3)))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim((2+f(3x)+f(3h))/(3)-(2+f(3x)+f(0))/(3))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(f(3h)-f(0))/(3h-0)=f'(0)`
`rArrf'(2)=f'(0)=2 " " [:'f'(2)=2]`
`rArrr'(x)=2`
`rArrf(x)=2x+c` ( समाकलन करने पर ) ...(i)
`f((x+y)/(3))=(2+f(x)+f(y))/(3)`में `x=y=0`
रखने पर, `rArrf(0)=2` अब समी (i) से, `f(0)=0+c=2 rArr c=2`
समी (i) से, `f(x)=2x+2`
चूँकि `f(|x|)=2|x|+2`
`:.f(|x|)-3=2|x|-1`
तथा `g(x)=|f(|x|-3)|=|2|x|-1|`
अब, `y=2x-1` का ग्राफ निम्न है

तथा `y=2|x|-1` का ग्राफ निम्न है

तथा `g(x)=|2|x|-1|` का ग्राफ निम्न है

`:.` बिन्दुओं की संख्या जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है, 3 है ।