फलन `f(x)=|x-3|` के परिप्रेक्ष्य में निम्नलिखित पर विचार कीजिए
`I. x=3` पर `f(x)` सतत है । `II.x=0` पर `f(x)` अवकलनीय है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

C

Explanation

दिया गया फलन `f(x)=|x-3|`
`I`. बाईं पक्ष सीमा x=3 पर,
`f(3-0)=underset(xrarr3^(-))limf(3)=underset(hrarr0)limf(3-h)`
`=underset(hrarr0)lim|3-h-3|`
`=underset(hrarr0)lim|-h|=underset(hrarr0)f(3+h)`
दाईं पक्ष सीमा x=3 पर, f(3+0) `=underset(xrarr3^(+))limf(3)=underset(hrarr0)f(3+h)`
`=underset(hrarr0)lim|3+h-3|=underset(hrarr0)lim |h|=0`
यहाँ बाईं पक्ष सीमा = दाईं पक्ष सीमा `=f(3)`
इस प्रकार फलन `f(x),(x=3)` पर सतत है ।
`II. Lf'(0)=underset(hrarr0)lim(f(0-h)-f(0))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(|-h-3|-|-3|)/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(h+3-3)/(-h)=underset(hrarr0)lim(h)/(-h)=-1`
`Rf'(0)=underset(h rarr 0)lim(f(0+h)-f(0))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(|h-3|-|-3|)/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(-h+3-3)/(h)=underset(hrarr0)lim(-h)/(h)=-1`
`:.Lf'(0)=Rf'(0)`
अतः फलन `f(x),(x-0)` पर अवकलनीय है ।