फलन `f(x)={:{(x^(2)",",x gt 2),(3x-2",",x le 2):}` पर विचार कीजिए । दिए गए फलन के सम्बन्ध में निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा एक सही है ?

Options

A. `x=2` पर `f(x)` अवकलनीय है, किन्तु सतत नहीं है
B. `x=2` पर `f(x)` सतत है, किन्तु अवकलनीय नहीं है
C. `x=2` पर `f(x)` न तो सतत है, और न ही अवकलनीय है
D. `x=2` पर `f(x)` सतत और साथ-ही-साथ अवकलनीय है

Answer

B

Explanation

दिया गया फलन , `f(x)={:{(x^(2)",",xgt2),(3x-2",",xle2):}`
सर्वप्रथम , हम x=2 पर f(x) कई सततता की जाँच करते हैं |
बाईं पक्ष सीमा `=f(2-0)=underset(hrarr0)lim(2-h)`
`=underset(hrarr0)lim[3(2-h)-2]=underset(hrarr0)lim(6-3h-2)`
`=underset(hrarr0)lim(4-3h)=4-0=4`
दाईं पक्ष सीमा `=f(2+0)=underset(hrarr0)limf(2+h)`
`=underset(hrarr0)lim(2+h)^(2)=(2+0)^(2)=4`
तथा `f(2)=3(2)-2=6-2=4`
`:'f(2)=` बाईं पक्ष सीमा = दाईं पक्ष सीमा
अतःx=2 पर `f(x)` सतत है ।
अब, `x=2` पर `f(x)` की अवकलनीयता की जाँच करते हैं ।
बायाँ पक्ष अवकलज
`=Lf'(2)=underset(hrarr0)lim(f(2-h)-f(2))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(3(2-h)-2-(3.2-2))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim((6-3h-2-6+2)/(-h))`
`=underset(hrarr0)lim((-3h)/(-h))=3`
दायाँ पक्ष अवकलज
`=Rf'(2)=underset(hrarr0)lim(f(2+h)-f(2))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim((2+h)^(2)-f(2))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim[(4+h^(2)+4h-(3.2-2))/(h)]`
`=underset(hrarr0)lim((4+h^(2)+4h-6+2)/(h))`
`=underset(hrarr0)lim(h+4)=0+4=4`
`:'Lf'(2)!=Rf'(2)`
अतः `f(x),x=2` पर अवकलनीय नहीं है ।