निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I. lim_(x to 0) sin .(1)/(x)` का अस्तित्व नहीं है ।
`II.lim_(x to 0) x sin .(1)/(x)` का अस्तित्व है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल `I`
B. केवल `II`
C. `I` और `II` दोनों
D. न तो `I` और न ही `II`

Answer

C

Explanation

`I.underset(xrarr0)lim sin 1//x`
बाईं पक्ष सीमा `=f(0-0)=underset(hrarr0)limf(0-h)`
`=underset(hrarr0)limsin.(1)/((-h))` ltbgt `=underset(hrarr0)lim(-sin.(1)/(h))=-sin(oo)`
= - ( एक परिमित संख्या , जो -1 से +1 के मध्य स्थित है )
दाईं पक्ष सीमा `=f(0+0)=underset (hrarr0)lim(0+h)`
`=underset(hrarr0)lim(sin.(1)/(h))=sin(oo)`
= ( एक परिमित संख्या , जो -1 से +1 के मध्य स्थित है )
`:'` बाईं पक्ष सीमा `!=` दाईं पक्ष सीमा
अतः `underset(xrarr0)limsin(1/x)` विद्यमान नहीं है ।
`II.underset(xrarr0)limxsin(1/x)`
बाईं पक्ष सीमा `=f(0-0)=underset(hrarr0)limf(0-h)`
`=underset(hrarr0)lim(-h)sin(-1/h)`
`=underset(hrarr0)limhsin(1//h)`
`=0xx(" परिमित मान ")=0`
दाईं पक्ष सीमा `=f(0+0)=underset(hrarr0)limf(0+h)`
`=underset(hrarr0)lim(h)sin(1//h)`
`=xxsin(oo)`
`=0xx " परिमित मान")=0`
`:'` बाईं पक्ष सीमा = दाईं पक्ष सीमा
अतः `underset(hrarr0)lim x sin(1/x)` विद्यमान है ।