फलन`f:R rarr R`, इस प्रकार परिभाषित है की `f(x)=x^(2),x ge 0` के लिए और `f(x)=-x, x lt 0` के लिए ।
उपरोक्त फलन के लिए निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I. x=0` पर फलन सतत है ।
`II.x=0` पर फलन अवकलनीय है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

A

Explanation

दिया गया फलन, `f:RrarrR,f(x)={:{(x^(2)",",x ge 0),(-x",",x lt 0):}`
x=0 पर सततता के लिए,
बायाँ पक्ष `=f(0-0)=underset(hrarr0)limf(0-h)`
`=underset(hrarr0)lim-(0-h)=underset(hrarr0)limh=0`
दायाँ पक्ष `=f(0+0)=underset(hrarr0)limf(0+h)`
`=underset(hrarr0)lim(0+h)^(2)=0`
तथा `f(0)=0`
`:'f(0)=` बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः `f(x),x=0` पर सतत है ।
x=0 पर अवकलनीयता के लिए,
`Lf'(0)=underset(hrarr0)lim(f(0-h)-f(0))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(-(-h)-0)/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(h)/(-h)=-1`
`Rf'(0)=underset(hrarr0)lim(f(0+h)-f(0))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(h^(2)-0)/(h)=underset(hrarr0)limh=0`
`:'Lf'(0)!=Rf'(0)`
अतः `f(x),x=0` पर अवकलनीय नहीं है ।