निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I`. फलन `f(x)=|x|,x=1` पर अवकलनीय नहीं है ।
`II`. फलन `f(x)=e^(x),x=0` पर अवकलनीय है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

B

Explanation

`I.f(x)=|x|` ग्राफ से यह स्पष्ट है कि वक्र x=0 पर तीक्ष्ण घुमाव रखता है ।
अतः फलन `f(x)=|x|` केवल x = 0
अवकलनीय नहीं है ।
अर्थात `f(x)=|x|,x=1` पर अवकलनीय है ।
`II`. दिया गया फलन, `f(x)=e^(x)`
अब फलन `f(x)` की x = 0 पर अवकलनीयता की जाँच करेंगे ।
दायाँ पक्ष ,
`Rf'(0)=underset(hrarr0)lim(f(0+h)-f(0))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(e^((0+h))-e^(0))/(h)`
`underset(hrarr0)lim(e^(h)-1)/(h) ` [`0/0` रूप]
L' हॉस्पिटल नियम से,
`underset(hrarr0)lim(e^(h)-0)/(1)=e^(0)=1`
बायाँ पक्ष ,
`Lf'(0)=underset(hrarr0)lim(f(0-h)-f(0))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(e^(-h)-e^(0))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(1-e^(-h))/(h)` [`0/0` रूप ]
L' हॉस्पिटल नियम से,
`underset(hrarr0)lim(e^(-h))/(1)=e^(-0)=1`
`:'Rf'(0)=Lf'(0)`
अतः `f(x)=e^(x),x=1` पर अवकलनीय है ।