माना `1 le x lt oo` में फलन `f(x)` इस प्रकार परिभाषित है कि
`f(x){:{(2-x",",1 le x le 2),(3x-x^(2)",",x gt2):}`
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I`. फलन, अन्तराल `[1,oo]` में प्रत्येक बिन्दु पर सतत है ।
`II`. फलन , `x=1.5` पर अवकलनीय है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

B

Explanation

दिया गया फलन, `f(x)={:{(2-x",", 1lexle2),(3x-x^(2)",",x gt 2):}`
तथा पूर्ण फलन `1 le x le oo` में परिभाषित है ।
`I. :'` फलन एक बहुपदी है, अतः यह अपने प्रान्त `[1,oo)-{2}` में सतत, साथ-ही-साथ अवकलनीय भी होगा ।
अब, हम x=2 पर फलन की सततता की जाँच करेंगे ।
बाईं पक्ष सीमा `=f(2-0)=underset(hrarr0)limf(2-h)`
`=underset(hrarr0)lim2-(2-h)=underset(hrarr0)limh=0`
दाईं पक्ष सीमा `=f(2+0)=underset(hrarr0)lim (2+h)`
`underset(hrarr0)lim3(2+h)-(2+h)^(2)`
`=3(2+0)-(2+0)^(2)=6-4=2`
तथा `f(2)=2-2=0`
`:'f(2)` = बाईं पक्ष सीमा `!=` दाईं पक्ष सीमा अतः फलन अन्तराल `[1,oo]` में प्रत्येक बिन्दु पर सतत नहीं है, अर्थात पर सतत नहीं है ।
`II`. हम x=1.5 पर भी फलन की अवकलनीयता की जाँच करेंगे ।
दायाँ अवकलज,
`Rf'(1.5)=underset(hrarr0)lim(f(1.5+h)-f(1.5))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(2-(1.5+h)-(2-1.5))/(h)`
`=underset(hrarr0)lim(0.5-h-0.5)/(h)`
`=underset(hrarr0)lim-(h)/(h)=-1`
बायाँ अवकलज,
`Lf'(1.5)=underset(hrarr0)lim(f(1.5-h)-f(1.5))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(2-(1.5-h)-(2-1.5))/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(0.5+h-0.5)/(-h)`
`=underset(hrarr0)lim(h)/(-h)=-1`
`:'Lf'(1.5)=Rf'(1.5)`
अतः फलन, x = 1.5 पर अवकलनीय है ।