माना `1 le x lt oo` में फलन `f(x)` इस प्रकार परिभाषित है कि
`f(x){:{(2-x",",1 le x le 2),(3x-x^(2)",",x gt2):}`
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I.f'(2+0)` का अस्तित्व नहीं है ।
`II.f'(2-0)` का अस्तित्व नहीं है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

D

Explanation

दिया गया फलन, `f(x)={:{(2-x",", 1lexle2),(3x-x^(2)",",x gt 2):}`
तथा पूर्ण फलन `1 le x le oo` में परिभाषित है ।
यहाँ, हम x = 2 पर , f'(x) की सीमा की वैधता का परीक्षण करेंगे ।
अतः दाईं पक्ष सीमा
`=f'(2+0)=underset(hrarr0)limf'(2+h)`
`=underset(hrarr0)lim[3-2(2+h)]` [समी (i) से]
`=underset(hrarr0)lim(3-4-2h)`
`=underset(hrarr0)lim(-1-2h)=-1`
तथा बाईं पक्ष सीमा `=f'(2-0)`
`=underset(hrarr0)limf'(2-h)`
`=underset(hrarr0)lim(-1)=-1`
अतः `f'(2+0)`तथा `f'(2-0)` दोनों विद्यमान हैं
अर्थात `f'(x),x=2` पर विद्यमान है ।