फलन `f(x)={:{(-2sinx",", " यदि "x le-(pi)/(2)),(A sin x+B","," यदि "-(pi)/(2) lt xlt(pi)/(2)),(cos x","," यदि " x ge (pi)/(2)):}` जो सर्वत्र सतत है, पर विचार कीजिए ।
A का मान क्या है ?

Options

A. 1
B. 0
C. -1
D. -2

Answer

C

Explanation

दिया है,
`f(x)={:{(-2sinx",","यदि " x le - pi/2),(A sin x +B",","यदि "-pi/2ltxltpi/2),(cos x",","यदि " x ge pi/2):}`
स्थिति `I x=pi/2` पर सततता के लिए,
`underset(xrarr(pi^(-))/(2))limf(x)=underset(xrarr(pi^(+))/(2))limf(x)=f(pi/2)`
`rArrunderset(hrarr0)limf(pi/2-h)=underset(hrarr0)limf(pi/2+h)=f(pi/2)`
`rArrunderset(hrarr0)limA sin (pi/2-h)+B`
` =underset(hrarr0)limcos(pi/2+h)`
`=cos (pi/2)`
`rArr=A sin. (pi)/(2)+B=cos.(pi)/(2)=0`
`rArrA+B=0`
`rArrA+B=0` ...(i)
स्थिति `II x=(-pi)/(2)` पर सततता के लिए,
`underset(xrarr(-pi^(-))/(2))limf(x)=underset(xrarr-(pi^(+))/(2))limf(x)=f(-pi/2)`
`rArrunderset(hrarr0)limf(-pi/2-h)`
`=underset(hrarr0)lim(-pi/2+h)=f(-pi/2)`
`rArrunderset(hrarr0)lim[-2sin((-pi)/(2)-h)]`
`=underset(hrarr0)lim[Asin((-pi)/(2)+h)+B]`
`=-sin((-pi)/(2))`
`rArr2=-A+B=2`
`rArr A-B=-2` ...(ii)
समी (i) व (ii) को हल करने पर,
`A=-1` और `B=1`
A का मान -1 है ।