एक फलन `f(x)` निम्नलिखित रूप में परिभाषित है
`f(x)={:{(x+pi",",x in [-pi","0) ),(pi cos x",",x in [0","pi/2] ),((x-(pi)/(2))^(2)",",x in((pi)/(2),pi] ):}`
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I`. फलन `f(x),x=0` पर अवकलनीय है ।
`II`. फलन `f(x),x=(pi)/(2)` पर अवकलनीय है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

D

Explanation

`x=0` के लिए,

`I`.) `Lf'(0)`

`=underset(hrarr0^(-))lim(f(0-h)-f(0))/(-h)`

`=underset(hrarr0^(-))lim(f(-h)-f(0))/(-h)`

`=underset(hrarr0)lim((pi-h)-pi)/(h)`

`=underset(hrarr0)lim(-h)/(h)=-1`

`Rf'(0)`

`=underset(hrarr0^(+))lim(f(0+h)-f(0))/(h)`

`=underset(hrarr0^(+))lim(f(h)-f(0))/(h)`

`=underset(hrarr0)lim(pi cos h-pi)/(h)`

`=underset(hrarr0)lim(pi [cos h-1])/(h)`

`=underset(hrarr0)lim(pi[-2 sin^(2)(h//2)])/(h)`

`=-2pi underset(hrarr0)lim (sin^(2)h//2)/((h/2)^(2))`

`" "xxunderset(hrarr0)lim h/4=0`

`Lf'(0)!=Rf'(0)`

`:.f(x),x=0` पर अवकलनीय नहीं है ।

अतः कथन `I` सही नहीं है ।

`II`.) अब `x=pi//2` के लिए,

`Lf'(pi/2)`

`=underset(hrarr0)lim(f(pi//2-h)-f(pi//2))/(-h)`

`=underset(hrarr0)lim(pi cos (pi/2-h)-0)/(-h)`

`=underset(hrarr0)lim(-pi)(sinh)/(h)`

`=(-pi)underset(hrarr0)lim(sinh)/(h)=-pi`

`Rf'(pi/2)`

`=underset(hrarr0)lim(f(pi/2+h)-f(pi/2))/(h)`

`underset(hrarr0)lim((pi/2+h-pi/2)^(2)-0)/(h)`

`=underset(hrarr0)lim (h^(2))/(h)=0`

`Lf'(pi/2)!=Rf'(pi/2)`

`:.f(x),x=pi/2` पर अवकलनीय नहीं है ।

अतः कथन `II` सही नहीं है ।