समाकलन `I_(m)=int_(0)^(pi)(sin2mx)/(sinx)dx` जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है , पर विचार कीजिए।
`I_(1)` किसके बराबर है ?

Options

A. 0
B. `1//2`
C. 1
D. 2

Answer

A

Explanation

दिया है , `I_(m)=int_(0)^(pi)(sin2mx)/(sinx)dx`
जहाँ, m एक धनात्मक पूर्णांक है ।
हम जानते हैं की यदि m एक धनात्मक पूर्णांक है ,तब `(sin2mx)/(sinx)=2[cosx+cos3x+...+cos(2m-1)x]`
`thereforeI_(m)=int_(0)^(pi)2[cosx+cos3x+...+cos(2m-1)x]dx`
`=2[sinx+(sin3x)/(3)+...+(sin(2m-1)x)/(2m-1)]_(0)^(pi)`
`=2[(sinpi+"sin"(3pi)/(3)+...+"sin"((2m-1)pi)/(2m-1))-(sin0+(sin0)/(3)+...+(sin0)/(2m-1))]`
`=2(0-0)=0(becausesinnpi=0,AAninZ=0]`
`rArrI_(1)=0,I_(2)+I_(3)=0`,
`I_(m)-I_(m-1)=0` तथा `I_(2m)=I_(m)`