दिया गया है कि `a_(n)=int(sin^(2){(n+1)x})/(sin2x)dx`
I. अनुक्रम `{a_(2n)}`, सर्वान्तर शून्य के साथ AP में है।
II. अनुक्रम `{a_(2n+1)}`, सर्वान्तर शून्य के साथ AP में है ।
उपरोक्त कथनों में से कौन -सा /से कथन सही है /हैं ?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

C

Explanation

`because a_(2n)=int_(0)^(pi)(sin^(2){(2n+1)x})/(sin2x)dx`...(i)
`int_(0)^(pi)f(x)dx=int_(0)^(pi)f(pi-x)dx` के प्रगुण से,
`a_(2n)=int_(0)^(pi)(sin^(2){(2n+1)(pi-x)})/(sin2(pi-x))dx`
`=int_(0)^(pi)(sin^(2){(2n+1)x})/(-sin2x)dx` . . . (ii)
[`becausen` के किसी मान के लिए,
`sin^(2){(2n+1)(pi-x)}=sin^(2){(2n+1)x}`
समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
`2a_(2n)=int_(0)^(pi)(sin^(2){(2n+1)x})/(sin2x)dx`
`rArr2a_(2n)=0`
`thereforea_(2n)=0`
उसी प्रकार, `a_(2n+1)=0` होगा|
अतः अनुक्रम `{a_(2n)}`, सर्वान्तर शून्य के साथ समान्तर माध्य (AP) में है तथा अनुक्रम `{a_(2n+1)}`, सर्वान्तर शून्य के साथ समान्तर माध्य (AP) में है ।