Find the value `tan (pi/5)+2tan((2pi)/5)+4cot((4pi)/5).`

Options

A. `cot.(pi)/(5)`
B. `cot.(2pi)/(5)`
C. `cot.(4pi)/(5)`
D. `cot.(3pi)/(5)`

Answer

A

Explanation

`tan.(pi)/(5)+2tan.(2pi)/(5)+4cot.(4pi)/(5)`
`=(sin.(pi)/(5))/(cos.(pi)/(5))+2(sin.(2pi)/(5))/(cos.(2pi)/(5))+4(cos.(4pi)/(5))/(sin.(4pi)/(5))`
`=(sin.(pi)/(5))/(cos.(pi)/(5))+2(sin.(2pi)/(5))/(cos.(2pi)/(5))+(4(cos^(2).(2pi)/(5)-sin^(2).(2pi)/(5)))/(2sin.(2pi)/(5)cos.(2pi)/(5))`
`=(sin.(pi)/(5))/(cos.(pi)/(5))+2(sin.(2pi)/(5))/(cos.(2pi)/(5))+(2(cos^(2).(2pi)/(5)-sin^(2).(2pi)/(5)))/(sin.(2pi)/(5)cos.(2pi)/(5))`
`=(sin.(pi)/(5))/(cos.(pi)/(5))+2[(sin^(2).(2pi)/(5)+cos^(2).(2pi)/(5)-sin^(2).(2pi)/(5))/(cos.(2pi)/(5)sin.(2pi)/(5))]`
`=(sin.(pi)/(5))/(cos.(pi)/(5))+(2cos.(2pi)/(5))/(sin.(2pi)/(5))`
`=(sin.(pi)/(5))/(cos.(pi)/(5))+(2(cos^(2).(pi)/(5)-sin^(2).(pi)/(5)))/(2sin.(pi)/(5)cos.(pi)/(5))`
`=(sin^(2).(pi)/(5)+cos^(2).(pi)/(5)-sin^(2).(pi)/(5))/(sin.(pi)/(5)cos.(pi)/(5))`
`=(cos^(2).(pi)/(5))/(sin.(pi)/(5)cos.(pi)/(5))`
`=cot.(pi)/(5)`