सिद्ध कीजिये कि फलन `f(x)` जो निम्न प्रकार परभाषित है -
` f( x) = {:{(x sin 1/x,x!= 0),(0,x=0):}`
बिंदु x=0 पर संतत (continous ) है ।

Explanation

यहाँ दिया हुआ है
f(0)=0
x=0 दक्षिण पक्ष सीमा (R.H.L)
` f ( x + h ) = ( x + h ) sin 1/(x +h)`
` f(0+h) = (0=h) sin (1/(0+h))`
` lim _ (h to 0 ) f ( 0 + h ) = lim_(h to 0 )h sin (1/h)`
` = lim _( h to 0) h xx lim _(h to 0 ) sin 1/h`
` = 0 xx` (एक परिमिति राशि जो - 1 और 1 के मध्य है )
अतः `f(0+0) +0 " " ` ...(2)
x =0 पर वाम पक्ष सीमा (L.H.S)
`f(x - h) = ( x-h ) sin 1/(x-h) `
` f(0 - h) = ( 0-h ) sin 1/(0-h)`
` = -h sin ((-1)/h) = h sin. 1/h `
`lim _(h to 0 ) f ( 0 - h ) = lim _(h to 0 ) ( hsin. 1/h)`
` = lim _ (h to 0 ) h xxlim _(h to 0 ) sin. 1/h `
` =0 xx` (एक परिमित राशि जो - तथा के मध्य है )
=0
समीकरण (1 ), ( 2 ) तथा ( 3 ) से
`f (0) = f (0+0) = f (0 - 0) = 0 `
अतः दिया हुआ फलन`x=0` पर संतत है ।