प्रदर्शित करो कि फलन `f(x), AA x in R` निम्न प्रकार से परिभाषित है ।
` {:{(e^(1//x)/(1+e^(1//x)),x !=0),(0,x=0):}`
x = 0 पर असंतत (discontinuous ) है ।

Explanation

`x=0` पर दिया हुआ है कि
`f(0) = 0 " " ` …(1)
` x= 0` पर दक्षिण पक्ष सीमा ( R.H.L ) :
` f ( x + h) = e^(1//(x+h))/(1 + e^(1//(x+h) ))`
` f (0+h) = e^(1//(0+h))/(1+ e^(1//(0+h)))`
` :. lim _(h to 0) f( 0+h) lim _(h to 0) ( e^(1//h))/(1+e^((x-h)))=lim_(h to 0) 1/(e ^(1 //h+1))`
अतः
`x = 0 `पर वाम पक्ष सीमा ( L.H.L) :
` f ( x - h ) = e^(1//(x-h))/( 1+ e^(1// ( x - h )))`
` f ( 0 - h) = e^(1//(0-h))/(1 + e^(1//(0-h)))=e^(-1//h)/(1 + e^(-1//h))`
` :. lim _( h to 0) f( 0-h) = lim _(h to 0 ) e^(-1//h)/(1 + e^(-1//h))`
अतः ` f(0-0) = 0/(1 +0) = 0 `
(2) तथा (3) से दक्षिण पक्ष सीमा`!=` वाम पक्ष सीमा
अतः दिया हुआ फलन` x= 0 ` पर असंतत है ।