सिद्ध कीजिए कि फलन `f(x) =|x|,x=0` पर सतत है , परन्तु `x=0` पर अवकलनीय नहीं है ।

Explanation

यहाँ `f(x) = |x| ` .
`x =0` पर सततता :
` lim _(x to 0^(-)) f(x) = lim _(x to 0 ) | x| = lim _( x to 0 ^(-)) (-x) = 0.`
` :. lim_(x to 0^(+)) f(x) = lim _(x to 0^(+)) |x| = lim _( x to 0^(+)) x = 0 `.
` :. lim_(x to 0^(+)) f(x) = 0 "तथा " f(0) = |0| = 0`.
` lim _( x to 0) f(x) = f(0) , " अतः " f(x) , x=0 ` पर सतत है ।
`x=0` पर अवकलनीयता :
` :. f(x) = |x | rArr f(0) = | 0| " और " f(0+h) = f(h) = | h|`
` :. (f(0+h)-f(0))/h = (| h|-0)/h = |h|/h`
और ` lim_(h to 0^(-)) (f(0+h)-f(0))/h = lim_(h to 0^(-)) (|h|)/h = lim_(h to 0^(-)) (-h)/h=1 .`
` lim _(h to 0^(+)) (f(0+h)-f(0))/h = lim_(h to 0^(+)) (|h|)/h = lim _(h to 0^(+)) h/h = 1 `
` lim _( h to 0) ( f(0+h)-f(0))/h ` का अस्तित्व नहीं है |
अर्थात `f(0)` का अस्तित्व नहीं है । अतः `f(x),x=0` पर अवकलनीय नहीं है ।