फलन ` x^(x) + (sin x)^(sinx) ` का x सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Explanation

` d/(dx) { x^(x ) + (sin x) ^(sinx) } = * d/(dx) (x^(x) ) +d/(dx) ( sin x ) ^(sin x) `
मान लीजिए ` u = x^(x) `
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
` log_(e) u = x log_(e) x `
अतः `1/ u * (du)/(dx) = x 1/x + log_(e) x `
` (du)/ (dx) = x^(x) ( 1+ log_(e) x ) `
या ` d/(dx) (x^(x)) = ( x^(x))(1 + log_(e) x ) `
तथा मान लीजिए
` y = ( sin x )^(sin x) `
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
` log v = sin x log_(e) sin x `
या ` 1/v (dv)/(dx) = [ sin x 1/( sin x) cos x + cos x log _(e) sin x ] `
या ` (dv)/(dx) = ( sin x)^( sin x) = [ cos x + cos x log_(e) sin x ] `
या ` d /(dx) ( sin x ) ^(sin x) = ( sin x ) ^ (sin x) ( cos x + cos x log _(e) sin x) `
` :. d/(dx) {x^(x) + ( si x ) ^(sin x) } = x^(x) ( 1+ log_(e) x ) + ( sin x ) ^ ( sin x) ( cos x ) ( 1+ log_(e) sin x) `