यदि ` y = e^(ax) sin bx ` हो तो सिद्ध कीजिए कि
` (d^(2)y)/(dx^(2))- 2a(dy)/(dx) + (a^(2) + b^(2)) y = 0 `.

Explanation

दिया है , ` y = e^(ax) sin bx `
x के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
` (dy)/(dx) = e^(ax) d/(dx) (sin bx) + sin bx *d/(dx) (e^(ax))`
` e^(ax) cos bx *d/(dx) (bx) + sin be.e^(ax) *d/(dx) (ax) `
` = be^(ax) cos bx + ae^(ax) sin bx`
` be ^(ax) cos bx + ay` [समीकरण ( 1 ) से ] ...(2)
x के साक्षेप पुनः अवकलन करने पर,
` (d^(2)y)/(dx) = b[e^(ax) d/dx (cos bx) + cos bx d/(dx) (e^(ax) ) + ]+ a(dy)/(dx) `
` = b [e^(ax) .(- sin bx) d/(dx) (bx) + cos bx.e^(ax) *d/(dx) (ax) ]+ a(dy)/(dx) `
` = b [- be^(ax) sin bx + ae^(bx) cos bx] + a(dy)/(dx) `
` b^(2) e^(ax) sin bx + a (be ^(ax) cos //bx ) + a (dy)/(dx)`
` = - b^(2) y + a ( (dy)/(dx)-ay) + a (dy)/(dx) = a (dy)/(dx) - (a^(2) +b^(2))y,`
समीकरण (1 ) और ( 2) से,
अतः ` (d^(2)y) /(dx^(2)) - 2a (dy)/(dx) + ( a^(2) + b^(2)) = y = 0` .