फलन `f(x) = x^(3) - 6x^(2) + 11x - 6 ` के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

`f(x) =x^(3) - 6x^(2) + 11x - 6 `
` = x^(3) - x^(2) - 5x^(2) + 5x + 6x -6`
` = x^(2) (x-1) - 5x ( x-1) + 6( x-1)`
` = ( x-1) (x^(2) - 5x +6)`
` = ( x-1 ) (x^(2) - 2x - 3x +6)`
`= ( x-1) [x (x-2)- 3 ( x- 2)- 3 (x - 2)]`
` = ( x-1 ) ( x-2) (x-3)`
जब f(x) = 0 , तब x = 1 , 2, 3
`f(1) = (1)^(3) - 6(1)^(2) + 11(1) - 6 = 0 `
` f(2) = (2)^(3) - 6(2)^(2) + 11 (2) - 6 = 0 `
इसी प्रकार , `f(3) = (3)^(3) - 6(3)^(2) + 11 (3) - 6 = 0 `
अब ` f'(x) = 3x^(20 - 12 x + 11`
x के सभी मानो के लिए f'(x) का अस्तित्व है । अतः रोले प्रमेय के सभी प्रतिबन्ध संतुष्ट हो जाते है । इसलिए x का एक मन अंतराल (1,2 ), और (2,3 ) के मध्य ऐसा होने चाहिए कि f'(x) शून्य होगा ।
` :. f'(x) = 3x^(2) - 12 x + 11 = 0 `
` :. x=(12 pm sqrt((-12)^(2) - 4 xx 3 xx 11 ))/( 2xx3) `
` = (12 pm sqrt( 144- 132))/6 `
` = ( 12 pm 2 sqrt(3))/6 = 12/6 pm 1/sqrt(3) = 2 pm 1/sqrt(3)`
` 1 lt 2 -1/sqrt(3) lt 2 " तथा " 2 lt 2 + 1/sqrt(3) lt 3 `
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होती है ।