अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमे `f(x)=sin x+cos x,0le x ge2pi` द्वारा प्रदत फलन f , निरंतर वर्धमान है।

Explanation

`" "f(x)=sinx+xcosx,0lexle2pi`
`" " f(x)=cosx-sinx`
`" "=sqrt(2)(cosx1/sqrt2-sinx1/sqrt2)`
`" "=sqrt2(cosxsin""pi/4-sinxcos""pi/sqrt2)`
`" "=sqrt2(cosx.sin""pi/4-sinx.cos""pi4)=sqrt2sin(pi/4-x)`
`becausef(x)` के वर्धमान होने के लिए,
`" "f(x)gt0`
`" " sqrt2sin(pi/4-x)gt0`
`" "-sqrt2sin(x-pi/4)gt0`
`" "sin(x-pi/4)lt0`
`therefore" "piltx-pi/4lt2pi`
या `" "(5pi)/(4)ltxlt(9pi)/4`
`" "(5pi)/4ltxlt2pi`या `2piltxlt(9pi)/4`
`rArr" "(5pi)/4ltxlt2pi` या `0ltxltpi/4" " [because2piltxlt(9pi)/4hArr0ltxltpi/4]`
अतः `" " x=pi/4,(5pi)/4," "[because2piltxlt(9pi)/4hArr0ltxltpi/4]`
बिंदु `x=pi/4` और `(5pi)/4" "[because2piltxlt(9pi)/4hArr0ltxltpi/4]`
बिंदु `x=pi/4`और `(5pi)/4` तीन अंतरालों `[0,pi/4),(pi/4,(5pi)/4)` तथा `((5pi)/4,2pi]` से विभक्त करते है।
और `" " f,(x)lt0,` यदि `x in(pi/4,(5pi)/(4)2pi]`
अतः अंतरालों `(0,pi/4)`और `((5pi)/4,2pi]` से फलन f निरंतर वर्धमान है।
और `" "f'(x)lt0,` यदि `x in(pi/4,(5pi)/4]`
`f(x)` के ह्रासमान होने के लिए
`" "f,(x)lt0`
`" "sqrt2sin(pi/4-x)lt0`
`" " sin(x-pi/4)gt0`
`rArr" " 0ltx-pi/4lt pirArrpi/4ltxlt(5x)/4`अर्थात `x in(pi/4,(5pi)/4)`
अतः फलन f अंतराल `(pi/4,(5pi)/4]` मैं निरंतर ह्रासमान है।