सिद्ध कीजिए कि वर्क `y^(2)=4a{x+a sin ((x)/(a))}` के वें बिन्दु जिन पर खींची गई स्पर्शियाँ x-अक्ष के समानान्तर हैं, एक परवलय पर स्थित हैं |

Explanation

यहाँ भी हमें स्पर्श बिंदु का बिन्दुपथ/ ज्ञात करना है।
मानलो की स्पर्श बिंदु के निर्देशांक (h ,k )है, तब
`" "k^2=4a{h+asin ""((h)/(a))}`
`" "y^2=4a{x+asin""((x)/(a))}` का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`" "2y(dy)/(dx)=4a{1+a(1)/(a)cos""(x)/(a)}`
`therefore" "((dy)/(dx))underset(h,k)=(2a)/(k){1+cos""(h)/(a)}`
`because` स्पर्श रेखा x अक्ष के समांतर है।
`therefore" "((dy)/(dx))underset(h,k)=0` अथवा `(2a)/(k)(1+cos""(h)/(a))=0`
अथवा `" "1+cos""((h)/(a))=0`
(i ) से ,`" "sin((h)/(a))=((k^2)/(4a)-h)=(k^2-4ah)/(4a^2)`
(ii )से `" "cos""((h)/(a))=-1`
`therefore" "sin^2""((h)/(a))+cos^2""((h)/(a))=((k^2-4ah))^2/(4a^2)+1`
अथवा `" "1=(k^2-4ah^2+16a^4)/(16a^4)`
अथवा `" "16a^4=(k^2-4ah)^2=0` अथवा `k^2=4ah`
अतः बिंदु (h ,k ) का बिन्दुपथ है: `y^2=4ax`
यह परवलय का समीकरण है।