सिद्ध कीजिए की `a_1x^2+b_1y^(2) =1` तथा `a_2x^2+b_2y^(2)=1` एक कोण दूसरे को समकोण पर काटेंगे यदि
`" "(1)/(a_1)-(1)/(b_1)=(1)/(a_2)-(1)/(b_2)`

Explanation

दिए हुए वक्रो के समीकरण
`" "a_1^(x2)+b_1y^(2) =1`
तथा `" " a_2x^(2)+b_2y^(2) =1` है।
समीकरण (1 ) का अवकलन करने पर
`" " 2a_1x+2b_1y(dy)/(dx)=0` या `(dy)/(dx)=-(a_1x)/(b_1y) `
इसी प्रकार समीकरण (2 ) का अवकलन करने पर
`" "2a^2x+2b^2y(dy)/(dx)=0` या `(dy)/(dx)=(a^2x)/(b^2y)`
ये प्रकार एक दूसरे के समकोण पर काटेंगे यदि प्रतिछेद बिन्दुओ पर दोनों वक्रो की स्पर्श रेखाओ की प्रवणताओ का गुणनफल
`rArr" "((-a_1x)/(b_1y))((-a_2x)/(b_2y))=-1`
`rArr" "(x^2)/(y^2) =-(b_1b_2)/(a_1a_2)`
पुनः (1 ) तथा (2 ) से `" "(a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)y^2=0`
`" "(x^2)/(y^2)=(-b_1-b^2)/(a_1-a_2)`
`" "(-b_1b_2)/(a_1a_2)=-((b_1-b_2)/(a_1-a_2)) (3 )` और (4 )से
`" "(a_1-a_2)/(a_1a_2)=(b_1-b_2)/(b_1b_2)`
अथवा `" "(1)/(a_1)-(1)/(a_2)-(1)/(b_1)-(1)/(b_2)`
`" "(1)/(a_1)-(1)/(b_1)=(1)/(a_2)-(1)/(b_2)`