यदि वक्र `x^(2//3)+y^(2//3)=a^(2//3)`का अभिलम्ब x अक्ष से ` theta ` कोण बनाये तो दिखाइए इसका समीकरण। `ycosOtheta - sin theta =acos2theta ` है।

Explanation

वक्र का समीकरण `" "x^(2//3)+y^(2//3)=a(2//3)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`" "(2)/(3)x^(-1//3)+(2)/(3)y^(-1//3)(dy)/(dx)=0`
`therefore" "(dy)/(dx)=-x^(1//3)/y^(-1//3)=-y^(1//3)/(x^(1//3)`
`therefore` अभिलम्ब की प्रवणता `=x^(1//3)/y^(1//3)=tantheta` (ज्ञात है)
`therefore" "x^(1//3)=y^(1//3)tan theta` अथवा `x=ytan^(3)theta`
दिये हुए समीकरण (i ) में x का मान प्रतिस्थापित करने पर,
`" "y^(2//3)tantheta+y^(2//3)=a^(2//3)` अथार्त `" "y^(2//3)sec^2theta=a^(2//3)`
अथवा `" "y^(1//3)sectheta=a^(1//3)`
`therefore" "y=acos^(3)theta,`
`therefore" "x=y tan^(3)theta=acos^(3)thetatan^(3)thetaasin^(3)theta` `therefore` बिंदु `(asin^(3)theta,acos^(3)theta)` पर अभिलम्ब है-
`" "y-acos^(3)theta=tantheta(x-sin^(3)theta)`
अथवा `" "ycos theta-a cos^4theta=xsin theta-asin^4theta`
अथवा `" "ycostheta-xsintheta=a(cos^4theta-sin^4theta)`
`" "a(cos^2theta-sin^2theta)(cos^2theta=sin^2theta)`
`" "=a(cos^2theta-sin^2theta)=a cos2theta`