शत्रु का एक अपाचे हेलीकॉप्टर वक्र `y=x^(2)+7`के अनुदिश प्रदत पथ पर उड़ रहा है। बिंदु (3 ,7 ) पर स्थित एक सैनिक अपनी स्थिति से न्युनतम दुरी पर उस हेलीकॉप्टर को गोली मरना चाहता है।न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना हेलीकॉप्टर की स्थिति`P(x,y)` तथा सैनिक `Q(3,7)` पर स्थित हो , तो सैनिक और हेलीकॉप्टर के मध्य दुरी ,
`" "PQ=sqrt( (x-3)^(2)+(y-7)^(2))=sqrt((x-3)^(2)+x^(4))`
`therefore" "PQ^(2) =(x-3)^(2) +x^(4) `
माना `" "PQ^(2) =z`तब
`" "z=(x-3)^(2)+x^(4)`
`therefore" "(dz)/(dx) =2(x-3) +4x^(3)`
तथा `" "(d^(2)z)/(dx^(2))=12x^(2)+2`
अब उच्छिष्ट तथा निम्निष्ट के लिए ,`(dx)/(dx) =0`
`" "2(x-3)+4x^(3)=0`
`" "x-3+2x^(3)=0`
`" "2x^(3)-2x^(2)+2x(2)-2x+3x-3=0`
`" "2x^(2)(x-1)+2x(x-1)+3x(x-1)=0`
`" "(x-1)(2x^(2)+2x+3)=0`
`" "x=1" "[therefore2x^(2)+2x+3=0`से काल्पनिक मान प्राप्त होते है]
स्पष्टत `" "((d^(2)z)/(dx^(2)))_("("x=1")")=12+2=14gt0।`
जब x =1 हो तब z न्यूनतम है।
`therefore" " y=x^(2)+2`
`x=1`रखने पर, `" " y=1+2=3`
अतः बिंदु P के निर्देशांक =(1 , 3 )
अतः जब हेलीकॉप्टर वक्र पर बिंदु (1 ,3 ) पर स्थित हो तब PQ न्यूनतम है।
अब `x=1`तथा y =3 से
`" "PQ=sqrt((x-3)^(2)+x^(4))`
`" "=sqrt((1-3)^(2)+(1)^(4))`
`" "sqrt(5)` इकाई।