दर्शाइए कि एक निश्चित आयतन के शंक्वाकार डेरे को बनाने में से कम -से -कम कपड़ा लगेगा जब उसकी ऊंचाई और आधार की त्रिज्या का अनुपात `sqrt(2):1` है

Explanation

मान लीजिए की ऊंचाई h की त्रिज्या r और तिरछी ऊंचाई l है। `therefore " " V=(1)/(3)pir^(2)h`
`" "S=`वक्र पृष्ट =`pirl`
`therefore" " S^(2) =pi^(2)r^(2) (h^(2)+r^(4) ) `
`" " =pi^(2) r^(2) ((9V^(2))/(pi^(2)r^(4)))`
अब r के सापेक्ष अवकलन करने पर
`" "(d(S)^(2))/(dr)=-(18V^(2))/r^(3) +4pi^(2) r^(3) `
उच्चिष्ट या निम्निष्ट मान के लिए, `" " (d(S)^(2))/(dx)=0`
`rArr" "(18V^(2)) /(r^(3))4pi^(2)r^(3) =0` या `V^(2)=(2pi^(2) r^(6))/(9) `
समीकरण (i ) और (2 ) से ,
`(pi^(2)r^(4)h^(2) )/(9)=(2pi^(2) r^(6) )/(9) `
`rArr " " h^(2) =2r^(2) `या `h=+-sqrt(2r) `
लम्बाई ऋणात्मक नहीं होगी। `" "thereforeh=sqrt(2r) `
अब `(d^(2)S^(2) )/(dr^(2))=(54V^(2)) /r^(4) +12pi^(2) r^(2) `जो एक धन राशि है जब `r=(h)/sqrt(2) `
`therefore` कपड़ा कम-से-कम लगेगा जब `h=sqrt2rrArrh:r=sqrt(2:1)`