दिखाइए की एक समकोण वृताकार शंकु के अंतर्ग्रत बने सबसे बढ़े बेलन का आयतन `(4)/(27)pih^(3)tan^(2) a `है जबकि शंकु की ऊंचाई h और अर्ध शीर्षकोण a है।

Explanation

ज्ञात है की AO = h और `angle BAO =a`
मानलो की वेलन की त्रिज्या x है
`thereforeDeltaAPO `से,`" "AO'=x cota `
`therefore" "OO'=`बेलन की ऊंचाई `" "=h-x cot a `

` therefore` बेलन का आयतन `" "V=pix^(2)(h-xcota) V=pi(x^(2)h-x^(3)cota)`
अब आयतन महत्तम हो जब
`" "(dV)/(dx)=0`और `(d^(2)V)/(dx^(2) )=-ve` ऋणात्मक
समीकरण (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`" " (dV)/(dx)=pi(2xh-3x^(2)cota)`
` (dV)/(dx)=0` प्रतिस्थापित करने पर
`pi (2xh-3x^(2)cota) =0` या `2h -3x cota =0because x ne 0`ltBRgt `therefore" "x=(2h)/(3cotalpha)`
अब `" "(d^(2)V)/(dx^(2)) =pi (2h-6xcotalpha)`
` x=(2h)/(3cotalpha)` प्रतिस्तापित करने पर
`" "(d^(2)V)/(dx^(2)) =pi (2h-6(2h)/(3cotalpha)cotalpha )=pi (2h -4h) `
` =- 2pih, ` जो ऋणात्मक है।
अतः आयतन महत्तम है जब x `x=(2h)/(3cotalpha )`
`therefore` " " अभीष्ट महत्तम आयतन `=pix^(2)(h-xcotalpha) `
`" "pi(4h^(2))/(9cot^(2)alpha)(h-(2h)/(3)),`
`" " =pi (4h^(2))/(9cot^(2) alpha )xx(h)/(3)=(4)/(27) pi h^(3) tan^(2) alpha) `