सिद्ध कीजिए की दी हुई तिर्यक ऊंचाई के उच्छिष्ट आयतन वाले शंकु का अर्ध्दशीर्ष कोण `tan ^(-1) sqrt(2)`है

Explanation

मानलो, दी हुई तिर्यक ऊंचाई =l और शंकु का अर्ध्दशीर्ष कोण =0 , तो ऊंचाई =`l cos 0 ` और आधार त्रिज्या की त्रिज्या =l sin 0
`" " ("आयतन ") V=(1)/(3)pi ( "आधार की त्रिज्या") ^(2) xx ("ऊंचाई ")`
`" "(pi)/(3)l^(2)sin^(2) 0xxlcos0`
`therefore" " (dV)/(d0) =(pil^(3))/(3)[2sin0cos^(2)0+sin^(2)0(-sin0)]`
उचिष्ट या निनिष्ट V के लिए `(dV)/(dx)=0`
`therefore" "2sin0।cos^(2)0-sin^(3) 0=0,("या")sin0 (2cos^(2)0-sin^(2)0)=0,`
`" " sin 0 =0( या ) " " 2cos^(2) 0-sin ^(2) 0=0, `
` therefore " " 0=0^(@) ( या ) tan ^(-1) sqrt(2) `
अब `" " (d^(2) V) /(d0^(2))=(pil^(3))/(3) [2cos^(3) 0+2sin 0.2cos0.(-sin0)-3sin^(2)0.cos0]`
`" "=(pil^(3))/(3) [2cos^(3)0-7sin ^(2) 0.cos0] =(pil^(3))/(3) cos^(3) 0[2-7 tan ^(2) 0]`
`" "=(pil^(3) )/(3(1+tan^(2) 0)^(3//2) )(2-7tan^(2) 0)`
जब `" " 0=tan ^(-1) sqrt(2),(d^(2) V) /(d0^(2)) =(pil^(3))/(3(1+2)^(3//2)) (2-7xx2)=(-4pil^(3))/3^(3//2)lt0`
`therefore`V उचिष्ट होगा जब `0= tan ^(-1) sqrt(2,0)=0^(@) ` होने पर शंकु लुप्त हो जाता है।
`therefore` अभीष्ट उचिष्ट आयतन वाले शंकु का अर्ध्द शीर्ष कोण `tan ^(-1) sqrt(2)` होगा।