यदि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा की लम्बाइयों का योग दिया हो, तो दर्शाइये कि त्रिभुज क्षेत्रफल महत्तम होगा यदि इन भुजाओं के बीच का कोण `pi//3` हो।

Explanation

मानलो दिया हुआ त्रिभुज ABC है जो B पर समकोण है तथा इसकी भुजा AB और कर्ण AC का योगफल दिया हुआ है तथा यह योगफल P है। अब यदि AB =c तो
`rArr" "AB+AC=p`
`" " AC=p-AB =-p`

`therefore" "` आधार `BC=sqrt((p-c)^(2) -c^(2))`
`" " =sqrt(p^(2) -2pc)`
अतः का `" " DeltaABC ("क्षेत्रफल ") =(1)/(2) xx(आधार ) xx ("ऊंचाई") `
`" " =(1)/(2) sqrt(p^(2) -2pcxxc)`
यदि क्षेत्रफल S है तो `" "S= (1)/(2) csqrt(p^(2) -2pc)`
स्पष्टः S चर राशि c का फलन है।
` therefore" "(dS)/(dc)=(1)/(2) [csqrt(1)/(2sqrt(p^(2) -2pc))(-2p)+sqrt(p^(2) -2pc।1)]`
`" " =(1)/(2) {(p^(2)-3pc)/sqrt(p^(2)-2pc)}`
`" "(d^(2)S)/(dc^(2)) =(1)/(2) (sqrt(p^(2)-2pc){-3p}-(p^(2)-3pc)(-p)/sqrt(p^(2)-2pc))/(p^(2)-2pc)`
`" "(d^(2)S)/(dc^(2))=(1)/(2) (-3p(p^(2)-2pc)+p(p^(2)-3pc))/((p^(2)-2pc)^(3//2))`
अब p उचिष्ट अथवा निनिष्ट होगा जबकि `(dS)/(dc)=0`
अथार्त जब `" "(1)/(2) { (p^(2)-3pc)/(p^(2)-2pc)}=0`
या `" " p(p-3c)=0`या `" p=0 ` अथवा p =3c
`thereforep=0`से त्रिभुज का बनना असम्भव है। अतः p =3c पुनः जब p =3c तो
`" "(d^(2)S) /(dc)^(2) =(-3(3c)(9c^(2) -6c^(2))+(9c^(2)-9c^(2)))/((9c^(2)-6c^(2)) ^(3//2))=-sqrt(3)`
जो ऋणात्मक है अतः जब p =3c तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का मान उचिष्ट होगा।
पुनः जब p =3c तो,
`" "AC=p-c=3c-c=2c ` तथा `AB=c`
`therefore" " cosBAC=(c)/(p-c) =(c)/(2c)=(1)/(2) =cos""(pi)/(3)thereforeangleBAC=(pi)/(3)`
अतः जब प्रश्न में वर्णित भुजाओ के बीच कोण `(pi)/(3) ` होगा तो त्रिभुज क्षेत्रफल उच्चतम होगा।