सिद्ध करो की किसी दिय हुए गोले के अंतर्गत उचिष्ट आयतन के शंकु की ऊंचाई का गोले की त्रिज्या से अनुपात 4 :3 है।

Explanation

मानलो की गोले की त्रिज्या r शंकु की ऊंचाई x तथा आधार की त्रिज्या y है। स्पष्टः शंकु का अक्ष गोले की त्रिज्या के संपत्ति ही होगा जिससे की शंकु की ऊंचाई अधिकतम ली जा सके।
शंकु का आयतन `=(1)/(3)piy^(2)x`

मानलो शंकु का अक्ष AO निचे पर गोले को D पर मिलता है। अब चूँकि जिवाएँ BC तथा AD एक दूसरे को लम्ब रूप से O पर काटती है। इसलिए ,
`" " AO.AD=BO.OC=BO^(2)`
या `" " x(2r-x)=y^(2)`
यदि शंकु का आयतन V है तो
`" "V=(1)/(3)[ pi(2r-x]x=(1)/(3) pix^(2)(2r-x)`
स्पष्टः शंकु का आयतन V चर राशि x का फलन है।
`" "(dV)/(dx) =(1)/(3) pi(4rx-3x^(2) ), therefore(d^(2)V)/(dx^(2))=(1)/(3) pi(4r-6x) `
V के अधिकतम होने के लिए आवश्यक है की`(dV)/(dx)=0`
या `" " (1)/(3) pi(4rx-3x^(2))=0` या `x(4r-3x)=0`
अब चूँकि x `ne ` 0 इसलिए ltbRgt `" " 4r-3x=0` या `x = (4r)/(3) `
साथ ही जब `x=(4r)/(3) `तो ` ( d ^(2) V)/( dx ^(2)) = (1) /(3) pi ( 4r - 6 ( 4r ) /(3)) = - ( 4 )/(3) pi r `
जो ऋणात्मक है |अतः जब ` x = ( 4r ) /(3) ` तो शंकु का आयतन अधिकतम है |
पुनः जब ` x = ( 4r ) /(3) ` तो `("शंकु की ऊंचाई")/ (" गोले की त्रिज्या") = ((4r )/(3))/(r ) =(4)/(3) `
अथवा शंकु की ऊंचाई : गोले की त्रिज्या =4 :3
अतः जब शंकु की ऊंचाई और गोले की त्रिज्या का अनुपात 4 :3 है तो शंकु का आयतन उच्चतम होगा।