एक खुले बेलनाकार बर्तन के पृष्ट का क्षेत्रफल 100 वर्ग सेमि है। इसका अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।

Explanation

यदि पृष्ट का क्षेत्रफल S है तो
`" " S= pir^(2)+2pirh =100`
अब यदि आयतन V के गहन सेमि है तो
`" "V=pir^(2) h `
`" " =pir^(2) ((100-pir^(2) )/(2pir))=50r-(pir^(3))/(2)`
स्पष्टतः आयतन V चर राशि r का फलन है।

`" "(dV)/(dr)=50(pi)/(2),(d^(2)V)/(dr^(2) )=(3pi)/(2) 2r=-3pir`
V उचिष्ट होगा यदि `(dV)/(dr)=0`
या `" " 50-(pi)/(2) (3r^(2) ) =0` या `r^(2) =(100)/(3pi) ` या `r=(10)/(sqrt(3pi))`
जब `r=(10)/(sqrt3pi)`तो `(d^(2))/(dr^(2)) =-3pi((10)/(sqrt3pi))=-10sqrt(3pi)`
जो ऋणात्मक है। अतः जब `r=(10)/sqrt(3pi)` तो V उचिष्ट है तथा V का उचिष्ट मान
`" "=50(10)/(3pi)-(pi)/(2)(10/(sqrt3pi))^(3)`
`" " =500/(sqrt(3pi))-(500)/((3sqrt(3pi)))=(1)/(sqrt(3pi))(500-(500)/(3))`
`" " =(1000)/(3sqrt(3pi))` गहन सेमि।