सिद्ध कीजिए की दिए हुए सम्पूर्ण पृष्ट और अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊंचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।

Explanation

मानलो बेलन के आधार की त्रिज्या r तथा ऊंचाई h है। उसका सम्पूर्ण पृष्ट `2pirh + 2pir^(2) `
`" " =2pir (r+h) =S`(दिया है )

यदि आयतन V है तो `" " V=pir^(2)h`
`" " pir^(2)((S)/(2pir)-r)=(rS)/(2)-pir^(3)`
यहाँ V चर राशि r का फलन है (S स्थिरांक है)
`therefore" " (dV)/(dr)=(S)/(2) 1-3pir^(2)`
तथा `" " (d^(2)V)/(dr)=0-6pir=-6pir`
V का मान अधिकतम होगा यदि
`" " (dV)/(dr) =0 hArr(S)/(2) -3pir^(2) =0`
`hArr" " S=6pir^(2) hArrr=sqrt(S)/(6pi)`
पुनः जब `r=sqrt((S)/(6pi)) `तो
`" " (d^(2)V)/(dr^(2)) =-6pi(sqrt((S)/(6pi) ))=-sqrt(6piS)`
जो ऋणात्मक है अतः जब `r=sqrt(S/(6pi)` तो V अधिकतम है।
पुनः जब `r=sqrt((S)/(6pi))` तो, `" " h=((S)/(2pir)-r)`
`rArr" " h=[(S)/(2pisqrt((S)/(6pi)))-sqrt((S)/(6pi))]=(2)/(sqrt(6))sqrt((S)/(pi))` ltbr gt `" "("बेलन ऊंचाई की ")/("आधार का व्यास")=(h)/(2r)=((2)/(sqrt6)sqrt((S)/(pi)))/(2sqrt((S)/(6pi)))=1`
अथवा `" " h=2r`
जब बेलन की ऊंचाई उसके आधार के व्यास के बराबर है तो उसका आयतन अधिकतम होगा।