सिद्ध कीजिये कि शंकु के अंतर्गत बने लंबवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ महत्तम होगा यदि बेलन कि त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी है ।

Explanation

मानलो शंकु की ऊंचाई h तथा अर्ध शीर्षकोंण`alpha ` है तथा लंबवृतिय बेलन की त्रिज्या x है ।
` therefore " " `बेलन की ऊंचाई OO '
`" " =AO-AO'`
`" " =h-x cotalpha`
अब यदि बेलन का वक्रपृष्ट C है तो
`" "C=2pi x.(h-cotalpha)`
`" " =2pi (hx-x^(2)xot alpha )`
यहाँ C , चर राशि x का फलन है।
`" "(dC)/(dx)=2pi[h-2xcotalpha]`
तथा `" " (d^(2)C)/(dx^(2))=2pi[-2cotalpha ]=-4picotalpha`
C के अधिकतम होने के लिए आवश्यक है की
`" " (dC)/(dx)=0`
`hArr" " 2pi[h-2xcotalpha ]=0`
` hArr" " h-2xcotalpha =0`
`hArr" " cot alpha =(h)/(2x)`
परन्तु `cot alpha =(h)/(2x),therefore(h)/(r) =(h)/(2x)`या `r=2x`
अर्थात शंकु की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या की दुगुनी है।
पुनः जब `cot alpha =(h)/(2x)`तो `(d^(2)C)/(dx^(2))=-4pi((h)/(2x))=-(2pih)/(x)`
जो ऋणात्मक है इसलिए जब शंकु की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या की दुगुनी है तो शंकु के अंतर्गत बने लंबवृतिय बेलन का वक्रपृष्ठ महत्तम होगा।