वक्र `y=cos(x+y),-2pi le xge2pi`की स्पर्श रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x +2y =0 के समांतर है।

Explanation

माना स्पर्श रेखा के संपर्क बिंदु `(x_1,y_1) ` है जो `y=cos(x+y) ` पर स्थित है।
`therefore" " y_1=cos(x_1+y_1) `
चूँकि रेखा`x+2y =0 `के समांतर है, इसलिए
`" " x=2y`
बिंदु `(x_1,y_1) ` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = रेखा x +2y =0 की प्रवणता
`" "((dy)/(dx) ) underset(x_1,y_1("पर ")) =-(1)/(2) `
अब वक्र `" " y=cos (x+y) `
`" "(dy)/(dx) =-sin (x+y)xx(1+(dy)/(dx) ) `
`" " ((dy)/(dx))underset (x_1,y_1) =-sin (x_1+y_1) xx[1+((dy)/(d))_("("x_1,y_1")") ]`
`" " -(1)/(2) =-sin (x_1+y_1) (1-(1)/(2) ) `
या `" "sin (x_1+y_1) =1`
समीकरण (i ) तथा (ii ) का वर्ग करके जोड़ने पर,
`" "cos^(2) (x_1+y_1) sin ^(2) ( x _ 1 + y _1 ) =y_1^(2) +1`
`" " 1=y_1^(2) +1`या `y_1=0`
` y_1` का मान समीकरण (i ) तथा (ii ) में रखने पर,
`therefore " "0= cos (x_1)`तथा `sin (x_1)=1`
`" " x_1=(pi)/(2) ,-(3pi)/(2) `
अतः संपर्क बिंदु के निर्देशांक `((pi)/(2),0)` तथा `((-3pi)/(2),0) ` है।
अतः प्रवणता `-(1)/(2) `वाली स्पर्श रेखाओ के समीकरण,
`" " y-0=-(1)/(2) (x-(pi)/(2)) `
`" " 2y=-x+(pi)/(2) `
`" " 4y =2x+pi`
या `" "2x+4y -pi =0`
और `" " y-0=-(1)/(2) (x+(3pi)/(2)) `
`" " 2y =-x-(3pi )/(2) `
`" " 4y =-2x-3pi `
या `" " 2x+4y +3pi=0`