`sec^(-1)x` का `x` के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें।

Options

A. `(1)/(xsqrt(x^(2)-1)`
B. `(1)/(sqrt(x^(2)-1)`
C. `(1)/(xsqrt(x^(2)+1)`
D. `(1)/(sqrt(x^(2)+1)`

Answer

A

Explanation

माना कि `y=sec^(-1)x` ... (1)
यहाँ `xle-1` या `xge1` तथा `0leylepi,yne(pi)/(2)`
(1) से , sec y =x … (2)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित (differentiate) करने पर हमें मिलता है,
`(d)/(dx)(secy)=(d)/(dx)(x)`
या `(d)/(dy)(secy)*(d)/(dx)y=(d)/(dx)(x)` या `secytany(dy)/(dx)=1`
`therefore(dy)/(dx)=(1)/(sec y tany)` ... (3)
`because0lttltpi,yne(pi)/(2) therefore0ltylt(pi)/(2)` या `(pi)/(2)ltyltpi`
therefore`{:(secygt0,),(tanygt0,):}}`या `{:(secylt0,),(tanylt0,):}` ... (4)
अतः दोनों स्थितियों में , `secytanygt0`
`therefore(3)` से, `(dy)/(dx)gt0`
`tany={{:(sqrt(sec^(2)y-1)",","यदि"tanygt0),(-sqrt(sec^(2)y-1)",","यदि"tan ylt0):}`
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि"secygt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि"secylt0):}` [(4) से]
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि"xgt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि"xlt0):}`
अब (3) से , `(dy)/(dx)={{:((1)/(xsqrt(x^(2)-1))",","यदि"xgt0),((1)/(-xsqrt(x^(2)-1))",","यदि"xlt0):}`
`therefore(dy)/(dx)=(1)/(|x|sqrt(x^(2)-1)),x` के सभी मानों के लिए जिसके लिए `sec^(-1)x` तथा `(dy)/(dx)` परिभाषित हैं ।