`"cosec"^(-1)x` का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करें ।

Explanation

माना कि `y="cosec"^(-1)x` … (1)
यहाँ `xle-1` या `xge1` तथा `-(pi)/(2)leyle(pi)/(2),yne0`
(1) से, cosecy =x … (2)
दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलित (Differentiate) करने पर , हमें मिलता है,
`(d)/(dx)("cosec"y)=(d)/(dx)(x)` या `(d)/(dy)("cosec"y)*(dy)/(dx)=1`
या `-"cosec " y coty*(dy)/(dx)=1`
या `(dy)/(dx)=-(1)/("cosec "ycoty)` ... (3)
यहाँ `-(pi)/(2)leyle(pi)/(2),yne0 " " [therefore "cosec" y` तथा cot y के चिन्ह समान होंगे]
इसलिए , (3) से, `(dy)/(dx)lt0` ... (4)
अब `coty={{:(sqrt("cosec"^(2)y-1),"यदि"cot ygt0),(-sqrt("cosec"^(2)y-1)",","यदि" cotylt0):}`
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि" cotygt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि" cot y lt0):}`
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",","यदि""cosec " ygt0),(-sqrt(x^(2)-1)",","यदि" "cosec " ylt0):}`
[ चूँकि cosec y तथा cot y के समान चिन्ह हैं ।]
`={{:(sqrt(x^(2)-1)",",xgt0),(-sqrt(x^(2)-1)",",xlt0):}`
अब (3) से, `(dy)/(dx)={{:(-(1)/(xsqrt(x^(2)-1))",",xgt0),((1)/(xsqrt(x^(2)-1))",",xlt0):}`
इस प्रकार `(dy)/(dx)=(1)/(|x|sqrt(x^(2)-1))`, सभी x के लिए जिसके लिए `"cosec"^(-1)x` तथा `(dy)/(dx)` परिभाषित हैं।