सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः
(i) `|(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2))|=(a-b)(b-c)(c-a)`
(ii) `|(1,1,1),(a,b,c),(a^(3),b^(3),c^(3))|`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`

Explanation

(i) L.H.S `=|(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2))|`
`=|(0,a-c,a^(2)-c^(2)),(0,b-c,b^(2)-c^(2)),(1,c,c^(2))| {:((R_(1)toR_(1)-R_(3)),(R_(2)toR_(2)-R_(3))):}`
`=(a-c)(b-c)|(0,1,a+c),(0,1,b+c),(1,c,c^(2))|`
`=(a-c)(b-c)[1.|(1,a+c),(1,b+c)|]`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`=-(c-a)(b-c)(b+c-a-c)`
`=-(b-c)(c-a)(b-a)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)=R.H.S`
(ii) L.H.S `=|(1,1,1),(a,b,c),(a^(3),b^(3),c^(3))|=|(0,0,1),(a-b,b-c,c),(a^(3)-b^(3),b^(3)-c^(3),c^(3))|`
`{:((C_(1)toC_(1)-C_(2)),(C_(2)toC_(2)-C_(3))):}`
`=(a-b)(b-c)|(0,0,1),(1,1,c),(a^(2)+b^(2)+ab,b^(2)+c^(2)+bc,c^(3))|`
`=(a-b)(b-c).1|(1,1),(a^(2)+b^(2)+ab,b^(2)+c^(2)+bc)|`
(`R_(1)` से विस्तार करने पर)
`=(a-b)(b-c)(b^(2)+c^(2)+bc-a^(2)-b^(2)-ab)`
`=(a-b)(b-c)[c^(2)-a^(2)+bc-ab]`

`=(a-b)(b-c)[c^(2)-a^(2)+bc-ab]`
`=(a-b)(b-c)[(c-a)(c+a)+b(c-a)]`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(c+a+b)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)`
`=R.H.S`