सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः
(i) `|(x+4,2x,2x),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4)|=(5x+4)(4-x)^(2)`
(ii) `|(y+k,y,y),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|=k^(2)(3y+k)`

Explanation

(i) L.H.S `=|(x+r,2x,2x),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4)|`
`=|(5x+4,5x+4,5x+4),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4)|`
`(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3))`
`=(5x+4)|(1,1,1),(2x,x+4,2x),(2x,2x,x+4)|`
`=(5x+4)|(0,0,1),(0,4-x,2x),(x-4,x-4,x+4)|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(3),C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(5x+4)(4-x)(4-x)|(0,0,1),(0,1,2x),(-1,-1,x+4)|`
`=(5x+4)(4-x)^(2).1|(0,1),(-1,-1)|`
(`R_(1)`से विस्तार करने पर)
`=(5x+4)(4-x)^(2)`
`=R.H.S`
(ii) L.H.S `=|(y+k,y,y),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|`
`=|(3y+k,3y+k,3y+k),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|`
`(R_(1)toR_(1)+R_(2)+R_(3))`
`=(3y+k)|(1,1,1),(y,y+k,y),(y,y,y+k)|`
`=(3y+k)|(0,0,1),(0,k,y),(-k,-k,y+k)|`
`(C_(1)toC_(1)-C_(3),C_(2)toC_(2)-C_(3))`
`=(3y+k).1|(0,k),(-k,-k)|`
(`R_(1)` से विस्तार करने पर)
`=(3y+k)(0+k^(2))=k^(2)(3y+k)=R.H.S`