सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः
`|(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ca,cb,c^(2)+1)|=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`

Explanation

L.H.S `=|(a^(2)+1,ab,ac),(ab,b^(2)+1,bc),(ca,cb,c^(2)+1)|`
`=abc|(a+1/a,b,c),(a,b+1/b,c),(a,b,c+1/c)|`
`=|(a^(2)+1,b^(2),c^(2)),(a^(2),b^(2)+1,c^(2)),(a^(2),b^(2),c^(2)+1)|`
`=|(a^(2)+b^(2)+c^(2)+1,b^(2),c^(2)),(a^(2)+b^(2)+c^(2)+1,b^(2)+1,c^(2)),(a^(2)+b^(2)+c^(2)+1,b^(2),c^(2)+1)|`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`=(a^(2)+b^(2)+c^(2)+1)|(1,b^(2),c^(2)),(1,b^(2)+1,c^(2)),(1,b^(2),c^(2)+1)|`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))|(1,b^(2),c^(2)),(0,1,0),(0,0,1)|`
`(R_(2)toR_(2)-R_(1),R_(3)toR_(3)-R_(1))`
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2)).1|(1,0),(0,1)|`
(`C_(1)`से विस्तार करने पर)
`=(1+a^(2)+b^(2)+c^(2))=R.H.S `