यदि `y=e^(ax)sinbx,` तो सिद्ध कीजिए कि `(d^(2)y)/(dx^(2))-2a(dy)/(dx)+(a^(2)+b^(2))y=0`

Explanation

`y=e^(ax).sinbx`
`rArr" "(dy)/(dx)=e^(ax).(d)/(dx)sin bx+sin bx.(d)/(dx)e^(ax)`
`=be^(ax)cosbx+a.sin bx.e^(ax)`
`rArr" "(d^(2)y)/(dx^(2))=b[e^(ax).(d)/(dx)cosbx+cosbx.(d)/(dx)e^(ax)]+a[sin bx.(d)/(dx)e^(ax)+e^(ax)(d)/(dx)sin bx]`
`" "=b[-be^(ax)sin bx+a.e^(ax)cosbx]+a[a.e^(ax)sinbx+b.e^(ax)cosbx]`
`" "-b^(2)a^(ax)sinbx+2abe^(ax)cosbx+a^(2).e^(ax)sinbx`
अब L.H.S.
`=(d^(2)y)/(dx^(2))-2a(dy)/(dx)+(a^(2)+b^(2))y`
`=(-b^(2)a^(ax)sinbx+2ab.e^(ax)cosbx+a^(2).e^(ax)sinbx)-2a.(b.e^(ax)cosbx+a.sinbx.e^(ax)+(a^(2)+b^(2))e^(ax)sinbx`
`e^(ax)[-b^(2)sinbx+2ab cos bx+a^(2)sinbx-2abcos bx-2a^(2)sinbx+a^(2)sin bx+b^(2)sin bx]`
= 0 = R.H.S. `" "` यही सिद्ध करना था ।