फलन `f(x)=x^(3)+3x^(2)-24x-80` के लिए अन्तराल `[-4,5]` में रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

Explanation

`f(x)=x^(3)+3x^(2)-24x-80`
(i )f(x) एक बहुपद फलन है, अतः यह `[-4,5]` में सतत है।
(ii ) `f'(x)=3x^(2)+6x-24,` जो एक बहुपद फलन है तथा `(-4,5)` में परिभाषित है।
अतः `f(x),(-4,5)` में अवकलनीय है।
(iii )`f(-4)=(-4)^(3)+3(-4)^(2)-24(-4)-80`
`=-64+48+96-80=0`
और `f(5)=(5)^(3)+3(5)^(2)-24(5)-80`
`=125+75-120-80=0`
`therefore f(-4)=f(5)`
अतः यहाँ रोले प्रमेय की तीनों शर्तें पूर्ण है।
अब एक ऐसे बिंदु `c in (-4,5)` का अस्तित्व है, जिसके लिये
`f'(c)=0`
`rArr 3c^(2)+6c-24=0`
`rArr c^(2)+2c-8=0`
`rArr (c+4)(c-2)=0`
`rArr c=-4 "या " c=2`
`c=2 in (-4,5)`
अतः रोले की प्रमेय सत्यापित होती है।