फलन `f(x)={log(x^(2)+2)-log3}` के लिए अन्तराल `[-1,1]` में रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

Explanation

`f(x)={log(x^(2)+2)-log3}`
(i ) अंतराल `[-1,1]` के प्रत्येक बिंदु के लिये f(x) का एक निश्चित और अद्वितीय मान है। अतः `f(x),[-1,1]` में सतत है। (
(ii ) `f'(x)=(2x)/(x^(2)+2)` जो `(-1,1)` पूर्णतया परिभाषित है।
अतः `f(x),(-1,1)` में अवकलनीय है।
`f(-1)=log{(-1)^(2)+2}-log3=0`
`f(1)=log{(1)^(2)+2}-log3=0`
`therefore " "f(-1)=f(1)`
अतः रोले की प्रमेय की तीनों शर्तें पूर्ण होती हैं।
अब एक ऐसे बिंदु `c in (-1,1)` का अस्तित्व होगा, जिसके लिये
`f'(c)=0`
`rArr" "(2c)/(c^(2)+2)=0`
`rArr" "c=0 in (-1,1)`
अतः रोले की प्रमेय सत्यापित होती है।