लैगरेंज मध्यमान प्रमेय के प्रयोग से वक्र `y=x^(2)` पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदुओं (1, 1) और (3, 9) को मिलाने वाली सरल रेखा के समांतर है।

Explanation

माना `f(x)=x^(2)` और यहाँ पर अन्तराल [1, 3] है (
( i ) अन्तराल [1, 3] के प्रत्येक बिन्दु पर f(x) का एक निश्चित और अद्वितीय मान है। अतः f(x), [1, 3] में सतत है।
(ii ) f'(x) = 2x जो अन्तराल में (1, 3) पूर्णतया परिभाषित है ।
अतः f(x), अन्तराल (1, 3) में अवकलनीय है।
इस प्रकार लैगरेंज मध्यमान प्रमेय के प्रतिबन्ध संतुष्ट होते है।
अब कम - से - कम एक बिन्दु `c in (1,3)` इस प्रकार होगा कि
`f'(c)=(f(3)-f(1))/(3-1)`
`rArr" "2c=(9-1)/(2)=4`
`rArr" "c=2`
अतः लैगरैंज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है।
`therefore" "f(c)=c^(2)`
`rArr" "f(2)=2^(2)=4`
अतः अभीष्ट बिन्दु `= (2, 4)`