मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल `[a,b]` में `f(x)=x^(3)-5x^(2)-3x,` जहाँ a = 1 और b = 3 है। `f'(c)=0` के लिए `c in (1,3)` को ज्ञात कीजिए।

Explanation

`f(x)=x^(2)-5x^(2)-3x," "x in [1,3]`
f(x) एक बहुपद फलन है।
`therefore f(x),[1,3]` में सतत तथा `(1,3)` में अवकलनीय है।
`rArr f(x), [1,3]` में लैगरैंज प्रमेय की शर्तों को पूर्ण करता है।
`therefore" "f'(x)=3x^(2)-10x-3`
माना `" "f'(c)=(f(3)-f(1))/(3-1)`
`rArr" "3c^(2)-10c-3=((3^(3)-5xx3^(2)-3xx3)-(1^(3)-5xx1^(2)-3xx1))/(2)`
`rArr" "=((-27)-(-7))/(2)=-10`
`rArr" "3c^(2)-10c+7=0`
`rArr" "(3c-7)(c-1)=0`
`rArr" "c=(7)/(3)" "या " "c=1`
`therefore" "c=(7)/(3)int(1,3)`
अतः लैगरैंज प्रमेय सत्यापित होती है।
पुनः माना `f'(c)=0`
`rArr" "3c^(2)-10c-3=0`
`rArr" "c=(10 pm sqrt(10+36))/(2xx3)=(10 pm 2sqrt(34))/(6)`
`rArr" "c=(5pm sqrt(34))/(3) cancel in (1,3)`
`therefore c` का कोई भी मान (1,3) में नहीं है जिसके लिये `f'(c)=0` है।