परवलय `x^(2) = 4y` और वृत्त `4x^(2) + 4y^(2) = 9` के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिए वृत्त का समीकरण `4x^(2) + 4y^(2) = 9` तथा परवलय का समीकरण `x^(2) = 4y` है।

अब दोनों वक्रो के समीकरणो को हल करने पर ,
` 4(4y) + 4y^(2) = 9`.
`rArr 4y^(2) + 16y - 9 = 0` .
`rArr " " y = (-16 pm sqrt(256 + 144))/(2xx4)`
` = (-16 pm sqrt(400))/(8)`
`= (-16 pm 20)/(8) = (1)/(2) , - (9)/(2)`
परन्तु `y gt 0` अतः दोनों वक्र मिलेंगे , जब `Y =(1)/(2)`,
`therefore x^(2) = 4 xx (1)/(2) = 2`
` rArr " " x = pm sqrt(2)`.
`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल
` = 2 int_(0)^(sqrt(2))( y_(2) - y_(1))dx`
`= 2{ int_(0)^(sqrt(2)) sqrt((9-4x^(2))/(4))dx - int_(0)^(sqrt(2))(x^(2))/(4)dx}`
` = 2 int_(0)^(sqrt(2))sqrt(((3)/(2))^(2) - x^(2)) dx - (2)/(4) [(x^(3))/(3)]_(0)^(sqrt(2))`
`= 2 [(x)/(2) sqrt(((3)/(2))^(2) - x^(2))+((3//2)^(2))/(2) sin^(-1)((x)/(3//2))]_(0)^(sqrt(2)) - (1)/(6)[(sqrt(2))^(3) - 0]`
`[xsqrt((9)/(4) - x^(2)) + (9)/(4)sin^(-1)((2x)/(3))]_(0)^(sqrt(2)) - (2sqrt(2))/(6)`
` = [sqrt(2)sqrt((9)/(4) - 2)+(9)/(4)sin^(-1)((2sqrt(3))/(3))] - { 0 - 0} - (2sqrt(2))/(6)`
` = (sqrt(2))/(2) + (9)/(4)sin^(-1)((2sqrt(2))/(3)) - (2sqrt(2))/(3)`
`=((sqrt(2))/(2) - (sqrt(2))/(3)) + (9)/(4)sin^(-1).(2sqrt(2))/(6)`
`= (sqrt(2))/(2) +(9)/(4)sin^(-1)((2sqrt(2))/(3))` वर्ग इकाई |