परवलय `y^(2) = 4ax` एव रेखा ` y = mx` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिया है , वक्र ` y^(2) = 4ax " "….(1)`
तथा रेखा का समीकरण , ` y = mx " "…(2)`

समीकरण (1) व (2) से, `(mx)^(2) = 4ax " " rArr" "x(m^(2)x - 4a) = 0`
`rArr x = 0 ` या ` x ,= (4a)/(m^(2))`
जब , x = 0 , ` y = mxx 0 = 0`
जब, ` x = (4a)/(m^(2)), y = m xx (4a)/(m^(2)) = (4a)/(m)`
`therefore` दोनों वक्रो के प्रतिच्छेदी बिन्दु (0,0) एव `((4a)/(m^(2)),(4a)/(m))` है
`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल ` = int_(0)^(4a//m^(2)) (sqrt(4ax) - mx)dx`
` = 2sqrt(a)[(x^(3//2))/(3//2)]_(0)^(4a//m^(2)) - [m.(x^(2))/(2)]_(0)^(4a//m^(2))`
` = (4)/(3)sqrt(a)((4a)/(m^(2)))^(3//2) - (m)/(2)((4a)/(m^(2)))^(2)`
` = (4)/(3)sqrt(a) ((4a)/(m^(2)))sqrt((4a)/(m^(2))) - (m(16a^(2)))/(2m^(4))`
` = (32)/(3).(a^(2))/(m^(3))- (8a^(2))/(m^(3))`
` = (8a^(2))/(3m^(3))`वर्ग इकाई ।